Miskonsep dalam Penyelesaian Soal Integral

Persoalan ini saya ketahui, saat dikonfirmasi mengenai kebenaran suatu jawaban dari persoalan integral yang diberikan oleh siswa. Adapun persoalan dan jawaban yang diberikan adalah sebagai berikut.
Tentukan integral dari (x²+ 1) ⁹ dx
Adapun jawaban dari siswa tersebut adalah sebagai berikut:
misal u = x²+1
dU = 2x dx
dx = 1/(2x) dU
sehingga persoalan intergral di atas menjadi
=1/(2x) integral dari U⁹ dU
= 1/(2x). 1/10. U¹⁰ + c
= 1/(20x) (x²+1) ¹⁰ + c

Benarkah jawaban tersebut?Sekilas tampaknya tidak ada kesalahan konsep dalam penyelesaian persoalan tersebut. Untuk mengetahui kesalahan jawaban tersebut, kalian dapat membandingkan dulu jawaban seharusnya dari persoalan di atas.

Untuk lebih memudahkan, kita coba menyelesaikan persoalan lain yang lebih sederhana.

Tentukan integral dari (x ² + 1)² dx
Bila kita selesaikan soal ini seperti soal di atas akan kita peroleh sebagai berikut.
Penyelesaian.
misal u = x²+1
dU = 2x dx
dx = 1/(2x) dU
sehingga persoalan intergral di atas menjadi
=1/(2x) integral dari U² dU
= 1/(2x). 1/3. U³ + c
= 1/(6x) (x²+1) ³ + c

Coba kita bandingkan dengan penyelesaian berikut.
(x ² + 1)²
= x ⁴ + 2x²+ 1
Jadi integral dari (x ² + 1)² dx
= integral dari (x ⁴ + 2x²+ 1) dx
= 1/5 x⁵ + 2/3³ +x + c

Manakah jawaban yang benar dari dua jawaban yang berbeda tersebut? Tentu saja jawaban yang terakhir bukan?Berarti jawaban yang pertama salah. Sehingga dapat kita simpulkan bahwa jawaban yang diajukan dari siswa kepada saya salah. Jadi ada kesalahan konsep dari penyelesaian soal tersebut.

Sekarang perhatikan jawaban yang benar dari integral dari (x²+ 1) ⁹ dx
Dengan bantuan barisan segitiga Pascal untuk pangkat 9 (1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1), maka kita dapatkan
(x²+ 1) ⁹
= 1.( x²)⁹.1⁰ +9.( x²) ⁸.1¹+36.( x²) ⁷.1²+84.( x²) ⁶.1³+126.( x²) ⁵.1⁴+126.( x²)⁴.1⁵ +84.( x²)³.1⁶+36.( x²) ².1⁷+9.( x²) ¹.1⁸+1.( x²)⁰.1⁹
= x¹⁸+ 9x¹⁶+ 36x¹⁴+ 84x¹²+ 126x¹⁰+ 126x⁸+ 84x⁶+ 36x⁴+ 9x²+ 1
Sehingga integral dari (x²+ 1) ⁹ dx = integral dari (x¹⁸+ 9x¹⁶+ 36x¹⁴+ 84x¹²+ 126x¹⁰+ 126x⁸+ 84x⁶+ 36x⁴+ 9x²+ 1) dx
= 1/19 x¹⁹+ 9/17x¹⁷+ 36/15x¹⁵+ 84/13x¹³+ 126/11x¹¹+ 126/9x⁹+ 84/7x⁷+ 36/5x⁵+ 3x³+ x + c

Demikian penjelasan mengenai penyelesaian soal integral tersebut. Agar lebih menguasai tentang konsep integral tersebut, maka letak miskonsep penyelesaian soal lebih baik anda temukan sendiri. Selamat mencoba!.